Question

已知函數(shù)在處取得極值.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

（3）證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立。

Answer 1

（1）a=1    （2）  （3）見解析

解析:

  （1）         ………………2分

  ………………4分

（2）由知由得令，則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。

，                 ………………6分

當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減。

依題意有

                                    ………………8分

（3）的定義域?yàn)?img border=0 width=80 height=32 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/62/37062.gif" >，由知，令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，為在上的最大值。

，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）。

對任意正整數(shù)，取得，故………………12分