Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，，其中m≠0．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求b_n；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有S_n∈[1，3]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解（1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m； 又b₂=2a₁+a₂，
所以，
解得；
所以數(shù)列{a_n}的公比；
當(dāng)m=1時(shí)，，
b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，…①，
，…②，
②-①得，
所以，
．
（2），
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/131153.png' />，所以由S_n∈[1，3]得，
注意到，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
所以最大值為，最小值為．
對(duì)于任意的正整數(shù)n都有，
所以，解得2≤m≤3，
即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．
分析：（1）由已知b₁=a₁=m； b₂=2a₁+a₂，可得a₂，從而可求數(shù)列{a_n}的公比q，進(jìn)而可求a_n，利用錯(cuò)位相減求和可求b_n
（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求S_n由S_n∈[1，3]得，分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)，兩種情況求解可求最大值，最小值，代入可求m的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法的應(yīng)用及恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用