Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=45°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AC=5，AB=4，BC=3
（1）求證：AB₁⊥面A₁BC；
（2）求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明AB₁⊥面A₁BC，只需證明AB₁⊥A₁B，CB⊥AB₁，證明CB⊥平面AA₁B₁B，利用四邊形A₁ABB₁為菱形可證；
（2）過(guò)B作BD⊥AA₁于D，連接CD，證明∠CDB就是二面角C-AA₁-B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C-AA₁-B的余弦值．

解答： （1）證明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，
所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，
又因?yàn)樗倪呅蜝CC₁B₁為矩形，所以CB⊥BB₁，
因?yàn)锳B∩BB₁=B，
所以CB⊥平面AA₁B₁B，
又因?yàn)锳B₁?平面AA₁B₁B，
所以CB⊥AB₁，
又因?yàn)樗倪呅蜛₁ABB₁為菱形，
所以AB₁⊥A₁B，
因?yàn)镃B∩A₁B=B
所以AB₁⊥面A₁BC；
（2）解：過(guò)B作BD⊥AA₁于D，連接CD
因?yàn)镃B⊥平面AA₁B₁B，
所以CB⊥AA₁，
因?yàn)镃B∩BD=B，
所以AA₁⊥面BCD，
又因?yàn)镃D?面BCD，
所以AA₁⊥CD，
所以，∠CDB就是二面角C-AA₁-B的平面角．
在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2

2

在直角△CDB中，DB=2

2

，CB=3，所以CD=

17

，
所以cos∠CDB=

2 2

17

=

2 34

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的判定，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線(xiàn)面垂直的判定，作出面面角是關(guān)鍵．