【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,若函數(shù)
在
,
(
)處導(dǎo)數(shù)相等,證明:
;
(2)是否存在,使直線
是曲線
的切線,也是曲線
的切線,而且這樣的直線
是唯一的,如果存在,求出直線
方程,如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析(2)存在,
【解析】
(1)求導(dǎo),則
,化簡得到
,再利用均值不等式到答案.
(2)先設(shè)切點求切線方程,再根據(jù)切線重合得關(guān)于一個切點橫坐標的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)只有一個零點的情況,即得答案.
(1)當(dāng)時,
,所以
,
由題意,得,因為
,所以
,
所以,所以
,
所以.
(2)曲線在點
處的切線方程為:
,
函數(shù)在點
處的切線方程
,
要存在直線,使
是曲線
的切線,也是曲線
的切線,
只需在處使
與
重合,
所以
由①得代入②整理得
,
設(shè),
則,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增,
則,設(shè)
,
,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減.
所以.
(。┊(dāng)時,
,所以
,
此時,所以方程
有唯一解
,
即,此時切線方程為
;
(ⅱ)當(dāng)且
時,
,
當(dāng)時,
,則
,
故函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)
時,函數(shù)單調(diào)遞減,故
,
故,同理可證
,
成立.
因為,則
.
又由當(dāng)時,
,可得
,
則,
所以函數(shù)有兩個零點,
即方程有兩個根
,
,
即,此時
,
,則
,
所以,
因為,
,所以
,所以直線
不唯一.
綜上所述,存在,使
是曲線
的切線,也是曲線
的切線,而且這樣的直線
是唯一的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b﹣c)(sinA+sinB+sinC)=bsinA.
(1)求C;
(2)若a=2,c=5,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
,
為線段
的中點.
(1)若為線段
上的動點,證明:平面
平面
;
(2)若為線段
,
,
上的動點(不含
,
),
,三棱錐
的體積是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線上任意一點
滿足
,直線
的方程為
,且與曲線
交于不同兩點
,
.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)點,直線
與
的斜率分別為
,
,且
,判斷直線
是否過定點?若過定點,求該定點的坐標.
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【題目】直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4acosθ,直線l與曲線C交于不同的兩點M,N.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知a>0,設(shè)點P(﹣1,﹣2),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1772年德國的天文學(xué)家波得發(fā)現(xiàn)了求太陽的行星距離的法則,記地球距離太陽的平均距離為10,可以算得當(dāng)時已知的六大行星距離太陽的平均距離如下表:
星名 | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 |
與太陽的距離 | 4 | 7 | 10 | 16 | 52 | 100 |
除水星外,其余各星與太陽的距離都滿足波得定則(某一數(shù)列規(guī)律),當(dāng)時德國數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)此定則推算,火星和木星之間距離太陽28還有一顆大行星,1801年,意大利天文學(xué)家皮亞齊經(jīng)過觀測,果然找到了火星和木星之間距離太陽28的谷神星以及它所在的小行星帶,請你根據(jù)這個定則,估算從水星開始由近到遠算,第10個行星與太陽的平均距離大約是( )
A.388B.772C.1540D.3076
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)在
上的單調(diào)性,并證明;
(2)若恒成立,求
的最小值;
(3)記,求集合
中正整數(shù)的個數(shù);
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