Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0}）的左頂點為（-$\sqrt{5}$，0），其離心率等于$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，O為坐標原點，點O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點為F，以F為圓心，經(jīng)過F₂的圓記為F，經(jīng)過原點的直線l交橢圓和圓F所得的弦長分別為m，n，求當mn取最大值時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．設(shè)點O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點為F（s，t），利用垂直平分線的性質(zhì)可得：F（2，2）．可得⊙F的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4．
設(shè)直線l的方程為：y=kx，與橢圓相交于點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；與⊙F相交于G，H．與橢圓方程聯(lián)立可得：${x}_{M}^{2}$=$\frac{5}{1+{5k}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，可得|MN|²=4（${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$）．圓心F到直線l的距離d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，可得|GH|²=4（R²-d²）．可得（mn）²=$\frac{640k}{1+5{k}^{2}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{5}$，c=2，b=1．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$．
（II）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
設(shè)點O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點為F（s，t），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t}{s}=1}\\{\frac{s}{2}+\frac{t}{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得s=t=2．
∴F（2，2）．
|FF₂|=2．
∴⊙F的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4．
設(shè)直線l的方程為：y=kx，（k＞0）．與橢圓相交于點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；與⊙F相交于G，H．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得${x}_{M}^{2}$=$\frac{5}{1+{5k}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，
∴|MN|²=4（${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$）=4（$\frac{5}{1+{5k}^{2}}$+$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$）=$\frac{20（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$．
圓心F到直線l的距離d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴|GH|²=4（R²-d²）=4$（4-\frac{（2k-2）^{2}}{{k}^{2}+1}）$=$\frac{32k}{1+{k}^{2}}$．
∴（mn）²=$\frac{20（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$×$\frac{32k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{640k}{1+5{k}^{2}}$=$\frac{640}{\frac{1}{k}+5k}$$≤\frac{640}{2\sqrt{5}}$=64$\sqrt{5}$，當且僅當k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時取等號．
∴直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{5}}{5}x$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、圓的性質(zhì)、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．