Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x+2）=f（2-x），且f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，如果A，B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（　　）

• A． f（sinA）＞f（cosB）
• B． f（cosB）＞f（sinA）
• C． f（sinA）＞f（sinB）
• D． f（cosB）＞f（cosA）

Answer 1

分析 由題意可知：函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2，根據(jù)偶函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可求得f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，由α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，求得α和β的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案

解答 解：由f（x+2）=f（x），∴函數(shù)的周期為2，∵f（x）在[-3，-2]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，
∵f（2-x）=f（x+2）=f（x-2）∴f（x）=f（-x），f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∵在銳角三角形中，∵α，β是銳角，且∴α+β$＞\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}＞$α＞$\frac{π}{2}-β＞0$，∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選：A．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應用，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導公式的應用，綜合性較強，涉及的知識點較多，屬于中檔題．