Question

2．若對任意正數(shù)x，不等式$\frac{1}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{a}{x}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得a≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 恒成立，利用基本不等式求得$\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 的最大值為$\frac{1}{2}$，從而求得實(shí)數(shù)a的最小值．

解答 解：由題意可得a≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 恒成立．
由于$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$ （當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號），故 $\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 的最大值為$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，即a得最小值為$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．