Question

（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F（，0），過點(diǎn)M（-3，0）作一條斜率大于0的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)A、B，延長(zhǎng)BF交橢圓W于點(diǎn)C.

（1）求橢圓W的離心率；

（2）若∠MAC=60°，求直線的斜率.

Answer 1

（1）（2）.

【解析】

試題分析：（1）由解得，可求得橢圓方程為，所以可求其離心率；（2）設(shè)出直線方程，并將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，由坐標(biāo)關(guān)系可得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，即為等邊三角形，可求得.

試題解析：（1）由題設(shè)，

解得，（3分）

所以橢圓W：，

離心率.（5分）

（2）設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立

得，

由直線與橢圓W交于A、B兩點(diǎn)，可知

△，解得，

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，

則，，（8分）

因?yàn)镕（-2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，則C′（），

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061706024096661798/SYS201506170602463574535196_DA/SYS201506170602463574535196_DA.029.png">

，

所以B，F(xiàn)，C′共線，從而C與C′重合，

連接MC，則，（12分）

則△MAC為等邊三角形，所以直線的斜率，符合，

綜上，直線的斜率為.（14分）

考點(diǎn)：橢圓定義及幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系.