Question

【題目】如圖，矩形為一張臺球桌面，，.從點擊出一個球，其可無限次經(jīng)臺球桌四邊反彈運行.已知該球經(jīng)過矩形的中心.

（1）試求所有整點 的個數(shù)，使得該球可以經(jīng)過點；

（2）若該球在上述、兩點間的最短路徑長為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將矩形及點、整體向右、上方向翻轉(zhuǎn)復(fù)制，得到一系列矩形.

設(shè)第列、第行矩形中、的像分別為、.則

；

，

，

，

.

設(shè)、的斜率分別為、.則

， ①

，，

，.

故經(jīng)過點的球可以經(jīng)過點

存在、、、，使得. ②

為使式②成立，必須， .

故.

（2）下面利用式②驗證球可以經(jīng)過上述點，并計算.

對前五個點，有，且，

，.

對中間四個點，有，故球在、之間必須經(jīng)臺球桌四邊之一反彈，有

，

.

從而，，

.

對，若球在某一矩形內(nèi)直接經(jīng)過、（不必經(jīng)矩形邊反彈），則.

此時，由式①知，且.但當(dāng)時，，矛盾.

若球在、之間只反彈一次，則球經(jīng)過某兩個相鄰的矩形中的、，有，但由式①有，矛盾.

故球在、之間必須經(jīng)臺球桌四邊反彈至少兩次，有

.

從而，.

綜上，所求整點有11個，且.