Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求證：e^x＞x+1（x≠0）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）≥0得e^x≥a，分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0在R上恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，得x≥lna，由此可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x-1，求導(dǎo)函數(shù)，求得g（x）的單調(diào)性與最值，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵f（x）=e^x-ax-1，∴f'（x）=e^x-a…（1分）
令f'（x）≥0得e^x≥a，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0在R上恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，得x≥lna，…（3分）
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞）…（6分）
（2）證明：設(shè)g（x）=e^x-x-1，則由g'（x）=e^x-1＞0解得x＞0，…（7分）
∴g（x）在（0，+∞）上遞增，在（-∞，0）上遞減；…（9分）
∴總有g(shù)（x）＞g（0）=0…（11分）
即e^x-x-1＞0，∴e^x＞x+1（x≠0）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．