如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2AA1=2，sin∠ABC=
3
2
，D是BC的中點．
（1）求證：A1B∥平面AC1D；
（2）求證：平面AC1D⊥平面B1BCC1；
（3）求三棱錐B-AC1D的體積．
（1）證明：連接A1C交AC1于點O，連接OD，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是矩形，∴A1O=OC．
又∵D是BC的中點，∴A1B∥OD．
∵A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D．
∴A1B∥平面AC1D．
（2）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點．
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AD．
又B1B∩BC=B，∴AD⊥側(cè)面BCC1B1．
∵AD?平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1．
（3）在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=
3
2
，∴∠ABD=60°．
∵AB=2，∴AD=
3
，BD=1．
∴VB-AC1D=VC1-ABD=
1
3
S△ABD×C1C=
1
3
×
1
2
×
3
×1×1=
3
6
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，且BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面體B1C1ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點Q是線段PA上任一點，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O，E為側(cè)棱SC上一點．
（1）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點時，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BED⊥平面SAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形，設(shè)D為AA1的中點．
（Ⅰ）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；
（Ⅱ）求證：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）BC邊上是否存在點P，使AP∥平面BDC1？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D為棱CC1上任意一點，E為BC中點，F(xiàn)為B1C1的中點，證明：
（1）A1F∥平面ADE；
（2）平面ADE⊥平面BCC1B1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥ab，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）在線段BE上是否存在一點F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．請指出圖中所有互相垂直的平面，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在空間坐標(biāo)系中的點M（x，y，z），若它的柱坐標(biāo)為(3，
π
3
，3)，則它的球坐標(biāo)為（　　）
A．(3，
π
3
，
π
4
)		B．(3
2
，
π
3
，
π
4
)		C．(3，
π
4
，
π
3
)		D．(3
2
，
π
4
，
π
3
)

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