Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx-1（b∈R）
（1）當(dāng)b=1時(shí)證明：f（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（2）若當(dāng)∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）＜1有解．求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)b=1時(shí)，
f（x）=x²+x-1在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
又∵f（）=＜0，f（1）=1＞0
即f（）•f（1）＜0
∴f（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（2）∵當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）＜1有解．
即x²+bx-1＜1在[1，2]有解
即b＜=-x在[1，2]有解
∵g（x）=-x在[1，2]為減函數(shù)
∴b＜g（x）_max=g（1）=1
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，1）
分析：（1）當(dāng)b=1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易得f（x）在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)f（）•f（1）＜0，可得f（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（2）若當(dāng)∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）＜1有解，即b＜=-x在[1，2]有解，結(jié)合g（x）=-x在[1，2]為減函數(shù)，可得b＜g（x）_max，進(jìn)而得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，存在性問(wèn)題，其中（1）的關(guān)鍵是分析出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)及f（）•f（1）＜0，（2）的關(guān)鍵是將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．