Question

（1）用輾轉相除法求出372和684的最大公約數，然后用更相減損術驗證．
（2）用秦九韶算法求多項式f（x）=x⁶-12x⁵+60x⁴-160x³+240x²-192x+64當x=2時的值．

Answer 1

考點：秦九韶算法,排序問題與算法的多樣性

專題：計算題,算法和程序框圖

分析：（1）用較大的數字除以較小的數字，得到商和余數，然后再用上一式中的除數和得到的余數中較大的除以較小的，以此類推，當整除時，就得到要求的最大公約數；更相減損術：用較大的數字減去較小的數字，得到差，仍用差和減數中較大的數字減去較小的數字，這樣依次做下去，等做到減數和差相等時，得到結果．
（2）將f（x）改寫為f（x）=（（（（（x-12）x+60）x-160）x+240）x-192）x+64，由內向外依次計算一次多項式當x=2時的值，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵684=1×372+312
372=1×312+60
312=5×60+12
60=5×12
∴（372，684）=12
檢驗：684-372=312
372-312=60
312-60=252
252-60=192
192-60=132
132-60=72
72-60=12
60-12=48
48-12=36
36-12=24
24-12=12
經檢驗：（372，684）=12；
（2）將f（x）改寫為f（x）=（（（（（x-12）x+60）x-160）x+240）x-192）x+64
由內向外依次計算一次多項式當x=2時的值，
v₀=1，
v₁=1×2-12=-10，
v₂=-10×2+60=40，
v₃=40×2-160=-80，
v₄=-80×2+240=80，
v₅=80×2-192=-32，
v₆=-32×2+64=0．
∴f（2）=0，即x=2時，原多項式的值為0．

點評：本題考查的知識點是輾轉相除法和更相減損術，考查秦九韶算法，熟練掌握輾轉相除法和更相減損術求最大公約數的方法和步驟是解答本題的關鍵．