【題目】某中學(xué)調(diào)查防疫期間學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況，從高一、高二年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（高一）中的值；記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時(shí)間的樣本的方差分別為，，試比較，的大�。ㄖ灰髮懗鼋Y(jié)論）；

（Ⅱ）估計(jì)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘的概率；

（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生鍛煉時(shí)間服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得

②若，則，

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826

【解析】

(I)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可判斷方差的大小，利用頻率總和為1即可求出的值；

(II)先設(shè)設(shè)事件：在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，事件：在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，根據(jù)圖形數(shù)據(jù)可得到它們的概率，而恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘分兩種情況：一種是這個(gè)人在高一；另一種是這個(gè)人在高二；再不出它們的概率和即可；

(III)利用所給的數(shù)據(jù)分別求出樣本平均數(shù)和樣本方差，代入公式即可求出概率和數(shù)學(xué)期望.

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）設(shè)事件：在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，

事件：在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，

事件：在高一、高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，恰有一個(gè)學(xué)生鍛煉時(shí)間大于20分鐘，且另一個(gè)不大于20分鐘，

則，

，

．

（Ⅲ），由條件得，

從而，

從高二中隨機(jī)抽取10人，其鍛煉時(shí)間值位于的概率是0．6826，

根據(jù)題意得，．

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【題目】如圖，四邊形為菱形，且，，，點(diǎn)在面上的投影恰在上，點(diǎn)為中點(diǎn).

（1）求證：為線段的中點(diǎn)；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）證明：；

（2）（i）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總有；

（ii）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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【題目】某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．

（Ⅰ）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；

（Ⅱ）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?

（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的人中，選出人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程；

（2）設(shè)點(diǎn)過為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且滿足為等邊三角形，求邊長的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的最小值.

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【題目】若函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足條件：|x1x2+y1y2|的最大值為0，則稱f（x）為“柯西函數(shù)”，則下列函數(shù)：

①f（x）＝x（x＞0）；

②f（x）＝lnx（0＜x＜3）；

③f（x）＝cosx；

④f（x）＝x2﹣1.

其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知橢圓：的離心率為，半焦距為，過點(diǎn)作軸、軸的垂線，垂足分別點(diǎn)，，且四邊形的面積為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，，且，求的取值范圍.

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【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

已知曲線C：（t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）。

（1）化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線

（t為參數(shù)）距離的最小值。

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