Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，過F，B，A三點(diǎn)的圓的圓心為（p，q）．
（1）當(dāng)p+q≤0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）若D（b+1，0），在（1）的條件下，當(dāng)橢圓的離心率最小時(shí)，（

MF

+

OD

）.

MO

的最小值為

7

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）求出線段AF、AB的垂直平分線方程，聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，由p+q≤0得到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合b²=a²-c²可得橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當(dāng)橢圓離心率取得最小值

2

2

時(shí)，把a(bǔ)，b用含c的代數(shù)式表示，代入橢圓方程，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，求出（

MF

+

OD

）•

MO

，然后對(duì)c分類求出最小值，然后由最小值等于

7

2

求得c的值，則橢圓方程可求．

解答： 解：（1）設(shè)半焦距為c．
由題意AF、AB的中垂線方程分別為x=

a-c

2

，y-

b

2

=

a

b

(x-

a

2

)，
聯(lián)立

x= a-c 2 y- b 2 = a b (x- a 2 )

，解得

x= a-c 2 y= b2-ac 2b

．
于是圓心坐標(biāo)為(

a-c

2

，

b2-ac

2b

)．
由p+q=

a-c

2

+

b2-ac

2b

≤0，
整理得ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，
∴b≤c，于是b²≤c²，即a²=b²+c²≤2c²．
∴e2=

c2

a2

≥

1

2

，即

2

2

≤e＜1；
（2）當(dāng)e=

2

2

時(shí)，a=

2

b=

2

c，此時(shí)橢圓的方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
設(shè)M（x，y），則-

2

c≤x≤

2

c，
∴(

MF

+

OD

)•

MO

=

1

2

x2-x+c2=

1

2

(x-c)2+c2-

1

2

．
當(dāng)c≥

2

2

時(shí)，上式的最小值為c2-

1

2

，即c2-

1

2

=

7

2

，得c=2；
當(dāng)0＜c＜

2

2

時(shí)，上式的最小值為

1

2

(

2

c)2-

2

c+c2，即

1

2

(

2

c)2-

2

c+c2=

7

2

，
解得c=

2 + 30

4

，不合題意，舍去．
綜上所述，橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查與向量有關(guān)的最值問題，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．