Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=x₀處取得極小值-4，使其導數(shù)f′（x）＞0的x的取值范圍（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若過點A（-1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）導數(shù)f′（x）＞0的x的取值范圍（1，3）得到1和3分別為函數(shù)的極小值和極大值點即f′（1）=0且f′（3）=0，且
有f（1）=-4，三者聯(lián)立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式；
（2）設(shè)過A作的切線的切點坐標為（x₀，y₀），則切線的斜率k=f′（x₀），根據(jù)A的坐標和切線的斜率寫出切線方程，要使過P可作曲線的三條切線，即把切點坐標代入切線方程中化簡可得m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9方程有三個解，設(shè)g（x）=2x³-3x²-12x+9，求出g′（x）=0時x的值，利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性得到g（x）的最大值和最小值，即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，依題意有a＞0，且1，3分別為f（x）的極值小，極大值點，
∴

f′(1)=0 f′(3)=0 f(1)=-4

解得a=-1，b=6，c=-9，
所以f（x）=-x³+6x²-9x；
（2）設(shè)過A點切線的切點坐標為（x₀，y₀），則切線的斜率k=-3x₀²+12x₀-9
切線方程為y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+m，
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀
要使過P可作曲線y=f（x）三條切線，則方程關(guān)于（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀有三解．
m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9，令g（x）=2x³-3x²-12x+9，
g′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）=0，易知x=-1，2為g（x）的極值大、極小值點，
故g（x）_極小值=-11，g（x）_極大值=16，
故滿足條件的m的取值范圍：-11＜m＜16

點評：本題考查學生掌握函數(shù)取極值時所滿足的條件，會利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道中檔題．