Question

14．設(shè)f（n）=cos（$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{4}$）（n∈Z），則f（1）+f（2）+…+f（2010）=_$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用觀察法得到函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性即可求出函數(shù)值．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=cos（π+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=cos（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=cos（$\frac{4π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
當(dāng)n=5時(shí)，f（5）=cos（$\frac{5π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)n=6時(shí)，f（6）=cos（$\frac{6π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)n=7時(shí)，f（7）=cos（$\frac{7π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)n=8時(shí)，f（8）=cos（$\frac{8π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)n=9時(shí)，f（9）=cos（$\frac{9π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
…由以上數(shù)值出現(xiàn)的規(guī)律可以知道，此函數(shù)的一個(gè)周期為T=4，
利用函數(shù)的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，且2010=4×502+2
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）
=f（2009）+f（2010）
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了求函數(shù)解析式及函數(shù)值，先利用觀察法得到函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性即可求出函數(shù)值，屬于中檔題．