Question

14．若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的定義域和值域都是[b，2b]，求b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的圖象對(duì)稱軸為x=2，最小值為2，可得y|_x=b=b且y|_x=2b=2b，即b，2b為方程$\frac{1}{2}$x²-2x+4=x的兩根，進(jìn)而得到答案．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的圖象是開口朝上，且以直線x=2為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值2，
若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的定義域和值域都是[b，2b]，
則b≥2，
此時(shí)函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4在區(qū)間[b，2b]為增函數(shù)，
故y|_x=b=b且y|_x=2b=2b，
即b，2b為方程$\frac{1}{2}$x²-2x+4=x的兩根，
解$\frac{1}{2}$x²-2x+4=x得：x=2，或x=4，
故b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．