Question

定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對，均有，則稱函數(shù)為上的夢想函數(shù)．

（Ⅰ）已知函數(shù)，試判斷是否為其定義域上的夢想函數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢想函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢想函數(shù)，求的最大整數(shù)值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）的取值范圍是；（Ⅲ）的最大整數(shù)值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題中“夢想函數(shù)”的定義判斷函數(shù)是否為“夢想函數(shù)”；（Ⅱ）根據(jù)“夢想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化型的恒成立問題，等價轉(zhuǎn)化為去處理，但需定義域的開閉對參數(shù)的取值范圍的影響；（Ⅲ）根據(jù)“夢想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為恒成立問題處理，在轉(zhuǎn)化的過程中，若兩邊同時除以，注意對的取值符號分正負(fù)以及進(jìn)行討論，從而得出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定的最大整數(shù)值.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)不是其定義域上的夢想函數(shù)．      1分

理由如下：

定義域，，      2分

存在，使，故函數(shù)不是其定義域上的夢想函數(shù)．  4分

（Ⅱ），，若函數(shù)在上為夢想函數(shù)，

則在上恒成立，      5分

即在上恒成立，

因為在內(nèi)的值域為，      7分

所以．      8分

（Ⅲ），由題意在恒成立，

故，即在上恒成立．

①當(dāng)時，顯然成立；     9分

②當(dāng)時，由可得對任意恒成立.

令，則， 10分

令，

則．

當(dāng)時，因為，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，因為，所以在單調(diào)遞增．

∵，，

∴當(dāng)時，的值均為負(fù)數(shù).

∵，，

∴當(dāng)時，

有且只有一個零點，且.        11分

∴當(dāng)時，，所以，可得在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以，可得在單調(diào)遞增．

則．    12分

因為，所以，

．    13分

∵在單調(diào)遞增，，，

∴，

所以，即．

又因為，所以的最大整數(shù)值為．    14分

考點：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、恒成立、參數(shù)分離法