Question

18．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E，F(xiàn)分別是AA₁，CC₁的中點，試判斷四邊形BED₁F的形狀，并計算其面積．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得到四邊形BED₁F是菱形，并能求出四邊形BED₁F的面積．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，2，0），E（2，0，1），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），
$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，2，-1），
∴$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{{D}_{1}F}$，|$\overrightarrow{E{D}_{1}}$|=|$\overrightarrow{EB}$|=$\sqrt{5}$，
∴四邊形BED₁F是菱形，
∵$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
∴|$\overrightarrow{EF}$|=2$\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{B{D}_{1}}|$=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形BED₁F的面積：
S=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{EF}|×|\overrightarrow{B{D}_{1}}|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查四邊形的形狀的判斷及面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．