Question

18．設f（x）=e^x（lnx-a）（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（1）若y=f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex+b，求a、b的值；
（2）若[$\frac{1}{e}$，e]是y=f（x）的一個單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（1），結合y=f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex+b列式求得a，b的值；
（2）由[$\frac{1}{e}$，e]是y=f（x）的一個單調遞減區(qū)間，可知f′（x）=${e}^{x}（lnx+\frac{1}{x}-a）$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，即$lnx+\frac{1}{x}-a$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，構造函數(shù)$g（x）=lnx+\frac{1}{x}，x∈$[$\frac{1}{e}$，e]，利用導數(shù)求得函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x（lnx-a），
∴f′（x）=${e}^{x}（lnx-a）+{e}^{x}•\frac{1}{x}={e}^{x}（lnx+\frac{1}{x}-a）$，
∵y=f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex+b，
∴k=f′（1）=e（ln1+$\frac{1}{1}-a$）=2e，
∴a=-1，
∴f（x）=e^x（lnx+1），
∴f（1）=e，
又∵（1，e）也在y=2ex+b上，
∴e=2e+b，則b=-e；
（2）∵y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上單調遞減，
∴f′（x）=${e}^{x}（lnx+\frac{1}{x}-a）$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
即$lnx+\frac{1}{x}-a$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
令$g（x）=lnx+\frac{1}{x}，x∈$[$\frac{1}{e}$，e]，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當x∈[$\frac{1}{e}$，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x∈（1，e]時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
又∵g（e）=1+$\frac{1}{e}$，g（$\frac{1}{e}$）=-1+e，
∴g（$\frac{1}{e}$）＞g（e），
∴$g（x）_{max}=g（\frac{1}{e}）=e-1$．
∴要使$lnx+\frac{1}{x}-a$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
只需a≥e-1，
即a的取值范圍是[e-1，+∞）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了利用分離參數(shù)證明恒成立問題，是中檔題．