Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}，S_n為前n項(xiàng)和，S_n=2ⁿ-1．
（1）求a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$；
（2）求a₁+a₃+…+a_2n-1．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得a_n，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_2n-1=2^2n-2=4^n-1，利用（1）的結(jié)論即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ-1，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴a_n=2^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=2^2n-2=4^n-1．
∴數(shù)列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．
∴a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
（2）由（1）可得：a_2n-1=2^2n-2=4^n-1，
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．