Question

已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，試求實(shí)數(shù)k和b的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=lg

a

x2+1

屬于集合M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）做出所給的函數(shù)的定義域，假設(shè)這個(gè)函數(shù)屬于集合，則得到方程x₀²+x₀+1=0，因?yàn)榇朔匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，得到不存在x₀使得等式成立，所以函數(shù)f(x)=

1

x

∉M．
（2）做出函數(shù)的定義域R，根據(jù)f（x）=kx+b∈M，則存在實(shí)數(shù)x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b，解得b=0，得到實(shí)數(shù)k和b的取得范圍是k∈R，b=0
（3）根據(jù)所給的函數(shù)符合集合的條件，寫出符合條件的關(guān)系式，得到一個(gè)關(guān)于自變量的一元二次方程，根據(jù)有解得到判別式大于0，得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意得到D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f(x)=

1

x

∈M，
則存在非零實(shí)數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，…（2分）
即x₀²+x₀+1=0，…（3分）
因?yàn)榇朔匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)f(x)=

1

x

∉M．…（4分）
（2）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在實(shí)數(shù)x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b，…（6分）
解得b=0，…（7分）
所以，實(shí)數(shù)k和b的取得范圍是k∈R，b=0．…（8分）
（3）由題意，a＞0，D=R．由f(x)=lg

a

x2+1

∈M，存在實(shí)數(shù)x₀，
使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

2

，…（10分）
所以，

a

(x0+1)2+1

=

a2

2( x 2 0 +1)

，
化簡(jiǎn)得（a²-2a）x₀²+2a²x₀+2a²-2a=0，…（12分）
當(dāng)a=2時(shí)，x0=-

1

2

，符合題意．…（13分）
當(dāng)a＞0且a≠2時(shí)，由△≥0得4a⁴-8（a²-2a）（a²-a）≥0，
化簡(jiǎn)得a²-6a+4≤0，
解得a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．…（15分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3-

5

，3+

5

]．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的滿足集合的條件寫出關(guān)于變量的關(guān)系式進(jìn)行求解，本題是一個(gè)難題，難點(diǎn)在于理解題意．