Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinxcos(x+

π

6

)，定義域為[0，

π

2

]．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=1，a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）f（x）解析式前兩項提取cosx，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）由（1）化簡得到的解析式表示出f（A），代入f（A）=1中計算求出A的度數(shù)，再由a的值，利用余弦定理列出關系式，利用完全平方公式變形，再利用基本不等式即可求出b+c的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（cosx+

3

sinx）+2sinxcos（x+

π

6

）=2cosxsin（x+

π

6

）+2sinxcos（x+

π

6

）=2sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-1，2]；
（2）由（1）得f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，
即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
由題意可知：0＜A≤

π

2

，即

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理，有a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3×（

b+c

2

）²=

(b+c)2

4

，
∴b+c≤4，
則b+c最大值為4．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．