Question

（2012•濰坊二模）①函數(shù)y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是減函數(shù)；
②點(diǎn)A（1，1）、B（2，7）在直線3x-y=0兩側(cè)；
③數(shù)列{a_n}為遞減的等差數(shù)列，a₁+a₅=0，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則當(dāng)n=4時(shí)，S_n取得最大值；
④定義運(yùn)算

.

a1 b1

a2 b2

.

=a1b2-a2b1則函數(shù)f(x)=

.

x2+3x x

1 1 3 x

.

的圖象在點(diǎn)(1，

1

3

)處的切線方程是6x-3y-5=0．
其中正確命題的序號(hào)是

②④

（把所有正確命題的序號(hào)都寫上）．

Answer 1

分析：①，利用誘導(dǎo)公式將y=sin（x-

π

2

）轉(zhuǎn)化為y=-cosx，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷其正誤；
②，將A（1，1）、B（2，7）的坐標(biāo)分別代入3x-y，觀察乘積的符號(hào)即可判斷；
③，由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷③的正誤；
④，依題意可求得f（x）的解析式，從而可求得在點(diǎn)（1，

1

3

）處的切線方程，繼而可作出判斷；

解答：解：①，∵y=sin（x-

π

2

）=-cosx，在[0，π]上是增函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②，將A（1，1）、B（2，7）的坐標(biāo)分別代入3x-y得（3×1-1）•（3×2-7）=-2＜0，故點(diǎn)A（1，1）、B（2，7）在直線3x-y=0兩側(cè)，即②正確；
③，∵數(shù)列{a_n}為遞減的等差數(shù)列，a₁+a₅=0，又a₁+a₅=2a₃，
∴2a₃=0，
故當(dāng)n=2或3時(shí)S_n取得最大值，故③錯(cuò)誤；
④，∵

.

a1 a2 b1 b2

.

=a₁b₂-a₂b₁，
∴f（x）=

.

x2+3x 1 x 1 3 x

.

=

1

3

x³+x²-x，
∴[f′（x）]|_x=1=（x²+2x-1）|_x=1=2，
∴f（x）的圖象在點(diǎn)（1，

1

3

）處的切線方程為：y-

1

3

=2（x-1），整理得：6x-3y-5=0，故④正確；
綜上所述，正確答案為②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查三角函數(shù)、平面區(qū)域、等差數(shù)列、及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題．