Question

19．設圓C：x²+y²-（2a²-4）x-4a²y+5a⁴-4=0．
（1）求實數a的范圍以及圓心C的軌跡方程：
（2）若a=-1，過點P（0，-3）向圓C作切線PA、PB，切點為A，B，求四邊形PACB的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件，圓的方程化為標準方程，利用半徑大于0，可得實數a的范圍；求得圓心為C（a²-2，2a²），可得圓心C的軌跡方程：
（2）求出PB，即可求出四邊形PACB的面積．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-（2a²-4）x-4a²y+5a⁴-4=0，即：（x-a²+2）²+（y-2a²）² =8-4a²，
故8-4a²＞0，∴-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$；
圓心C（a²-2，2a²），故圓心在直線2x-y+4=0（x＜0）．
（2）a=-1，圓C：（x-1）²+（y-2）² =4，
PC=$\sqrt{{1}^{2}+（2+3）^{2}}$=$\sqrt{26}$，∴PB=$\sqrt{26-4}$=$\sqrt{22}$，
∴四邊形PACB的面積S=2×$\frac{1}{2}×\sqrt{22}×2$=2$\sqrt{22}$．

點評 本題主要考查圓的標準方程，距離公式的應用，直線和圓的位置關系，屬于中檔題．