Question

設a＞0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的單調性．

Answer 1

解：定義域{x|x＞0}
f′（x）==
設g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，則g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②若a＞1則2a（1-a）＜0，g（x）的圖象開口向下，
此時△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根為x₁=，x₂=
且x₁＜0＜x₂
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
③若0＜a＜1則2a（1-a）＞0，g（x）的圖象開口向上，
此時△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知當≤a＜1時，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函數(shù)；
當0＜a＜時，△＞0，方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根滿足＞＞0
故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
分析：求出函數(shù)的定義域，求出導函數(shù)，設g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞），討論a=1，a＞1與0＜a＜1三種情形，然后利用函數(shù)的單調性與導函數(shù)符號的關系求出單調性．
點評：本題考查利用導函數(shù)討論函數(shù)的單調性：導函數(shù)為正函數(shù)遞增；導函數(shù)為負，函數(shù)遞減，同時考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬于難題．