(2009•嘉定區(qū)二模)圖1所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖.圖2是它的主視圖和左視圖(單位:cm).
(1)在主視圖下面按照三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;
(2)按照?qǐng)D2給出的尺寸,求該多面體的體積;
(3)在圖1中連接B1C,求異面直線EF和B1C所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).
分析:(1)根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征與它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可得其側(cè)視圖.
(2)由題意可得:所求多面體體積V=V長(zhǎng)方體-V正三棱錐,
(3)在AB上取一點(diǎn)G,使AG=1(BG=4),連接B1G,CG,則∠FB1G=45°,所以B1G∥FE,所以∠CB1G(或其補(bǔ)角)就是異面直線EF和B1C所成的角.在△CB1G中 求解即可.
解答:解:(1)


注:正確作出圖形得(3分),作錯(cuò)不給分.
(2)V=5×4×3-
1
3
×
1
2
×2×2×2=60-
4
3
=
176
3
(cm3),
所以,該多面體的體積為
176
3
cm3.…(8分)
(3)由已知,∠B1FE=135°,在AB上取一點(diǎn)G,使AG=1(BG=4),連接B1G,CG,則∠FB1G=45°,所以B1G∥FE,所以∠CB1G(或其補(bǔ)角)就是異面直線EF和B1C所成的角.…(10分)
在△CB1G中,B1G=4
2
,B1C=GC=5,所以cos∠CB1G=
2
2
5
.…(13分)
所以異面直線EF和B1C所成角的大小為arccos
2
2
5
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查該多面體的三視圖,多面體的體積的計(jì)算,異面直線所成角的大小計(jì)算,考查化歸與轉(zhuǎn)化(不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求體積、空間角轉(zhuǎn)化為平面角)的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
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