Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值．
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)h（x）的圖象左平移m個(gè)單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由二倍角公式可得f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，由對稱軸可得2x₀+

π

6

=kπ，k∈Z，代值計(jì)算可得；
（Ⅱ）由三角函數(shù)公式可得h（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）由圖象變換可知只需向左平移

π

12

個(gè)單位即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
又∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2x₀+

π

6

=kπ，k∈Z，∴2x₀=kπ-

π

6

，
∴g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=

3

4

；
（Ⅱ）由題意可得h（x）=f（x）+g（x）
=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x+sin2x）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

∴h（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[得kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．（k∈Z）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
由圖象變換可知只需向左平移

π

12

個(gè)單位，
可得y=

3

2

+

1

2

sin[2（x+

π

12

）+

π

3

]=

3

2

+

1

2

cos2x，為偶函數(shù)，
∴所求最小正實(shí)數(shù)m為

π

12

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)圖象的變換和性質(zhì)，涉及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，屬中檔題．