Question

能夠使得圓x²+y²-2x+4y+1=0上恰有兩個點到直線2x+y+c=0距離等于1的c的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示，根據(jù)圖象得到圓心到已知直線的距離d大于1小于3，利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離，進(jìn)而列出關(guān)于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的取值范圍．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）²+（y+2）²=4，
得到圓心坐標(biāo)為（1，-2），半徑r=2，
根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：
因為圓心到直線2x+y+c=0的距離d=

|c|

5

，根據(jù)圖象可知：
當(dāng)d∈（1，3）時，圓上恰有兩個點到直線2x+y+c=0距離等于1，
即1＜

|c|

5

＜3，當(dāng)c＞0時，解得：

5

＜c＜3

5

；當(dāng)c＜0時，解得-3

5

＜c＜-

5

，
則滿足題意的c的取值范圍是：（-3

5

，-

5

）∪（

5

，3

5

）．
故答案為：（-3

5

，-

5

）∪（

5

，3

5

）．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．本題的關(guān)鍵是通過圖象找出圓心到已知直線的距離的取值范圍．