橢圓的中心在原點,焦點在軸上,,過點的直線交橢圓于兩點,且滿足

(1)若為常數(shù),試用直線的斜率表示的面積;

(2)若為常數(shù),當的面積取最大值時,求橢圓的方程;

(3)若變化且,試問:實數(shù)和直線的斜率分別為何值時,橢圓的短半軸取得最大值,并求此時橢圓的方程.

(1)  (2)  (3)


解析:

設(shè)橢圓方程為

       由,得

       故橢圓方程為.        ①

       (1)因為直線交橢圓于,兩點,

       并且

代入橢圓得

,             ③

.                 ④

因此,

聯(lián)立②③得

(2),

當且僅當時,即時,取得最大值,此時

,

,,

,代入④,得

故橢圓方程為

(3)由②③聯(lián)立得,

代入④得

易知,時,的減函數(shù),

故當時,

,時,橢圓短半軸取得最大值,

此時橢圓方程為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟寧市2012屆高二下學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本小題滿分14分) 已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓,它的中心在原

點,左焦

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;

(3)過原點O的直線交橢圓于點B、C,求△ABC面積的最大值。

 

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