Question

【題目】已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數(shù)．

（1）求k的值；

（2）判斷函數(shù)y=f（x）-x在R上的單調(diào)性，并加以證明；

（3）設(shè)g（x）=log4（a2x-a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=- (2)見證明；(3) （1，+∞）∪{-3}

【解析】

（1）由偶函數(shù)的定義可得f（-x）=f（x），結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解方程可得所求值；

（2）函數(shù)h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上遞減，運(yùn)用單調(diào)性的定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；

（3）由題意可得log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一個(gè)實(shí)根，可化為2x+2-x=a2x-a，即有a=，化為a-1=，運(yùn)用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

（1）f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數(shù)，

可得f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，

即有l(wèi)og4=2kx，可得，即

由x∈R，可得；

（2）函數(shù)h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上遞減，

理由：設(shè)x1＜x2，則h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2

=log4（4-x1+1）-log4（4-x2+1），

由x1＜x2，可得-x1＞-x2，可得log4（4-x1+1）＞log4（4-x2+1），

則h（x1）＞h（x2），即y=f（x）-x在R上遞減；

（3）g（x）=log4（a2x-a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

即為log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一個(gè)實(shí)根，

可化為2x+2-x=a2x-a，

即有a=，化為a-1=，

可令t=1+2x（t＞1），則2x=，

則a-1==，

由9t+-34在（1，）遞減，（，+∞）遞增，

可得9t+-34的最小值為2-34=-4，

當(dāng)a-1=-4時(shí)，即a=-3滿足兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)t=1時(shí)，9t+-34=0，可得a-1＞0時(shí)，即a＞1時(shí)，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上可得a的范圍是（1，+∞）∪{-3}．