Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+b（b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）．求關于x的不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）當b=0時，m為常數(shù)，且0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，求

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）二次函數(shù)f（x）的值域是[0，+∞），得△=0，求得b的值，得f（x）解析式，解不等式f（x）＜4即可；
（Ⅱ）b=0時，f（x）=x²+2x，化簡

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

為

t

t2+1

；在0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，即0＜1-m≤t≤m+1＜2時，求

t

t2+1

的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+2x+b（b∈R）的值域為[0，+∞），
∴有△=4-4b=0，即b=1，
∴f（x）=x²+2x+1，
∵不等式f（x）＜4，∴x²+2x+1＜4；
即x²+2x-3＜0，化簡得（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1；
所以不等式的解集為{x|-3＜x＜1}；
（Ⅱ）當b=0時，f（x）=x²+2x，∴

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

=

t

t2+1

；
∵0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，∴0＜1-m≤t≤m+1＜2；
令g(t)=

t

t2+1

，則g′(t)=

1-t2

(t2+1)2

；
∴當0＜t＜1時，g'（t）＞0，g（t）單調(diào)增，當t＞1時，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)減；
∴g（1）是區(qū)間（1-m，1+m）上的最大值；
又∵g（1-m）-g（1+m）=

1-m

(1-m)2+1

-

1+m

(1+m)2+1

=

-2m3

[(1-m)2+1][(+m)2+1]

＜0，
∴g（1-m）＜g（1+m）；
所以g(t)=

t

t2+1

的最小值為g(1-m)=

1-m

(1-m)2+1

．

點評：本題考查了不等式的解法以及利用導數(shù)判定函數(shù)的增減性與求最值問題，是易錯題．