（2006•朝陽區(qū)一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線的方程是x=4，過橢圓的左焦點(diǎn)F，且方向向量為
a
=（1，1）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M．
（Ⅰ）求直線OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直線AB與OM的夾角為α，當(dāng)tanα=7時(shí)，求橢圓的方程．
分析：（I）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳、B在橢圓上將兩式相減可得直線AB的斜率與直線OM的斜率的關(guān)系，從而求出所求；
（Ⅱ）由（I）以及tanα=7可求出a與b的關(guān)系，再根據(jù)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線的方程是x=4可求出a與c的等式，即可求出a，b，c從而求得橢圓的方程．
解答：解：（I）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳、B在橢圓上
所以
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1，  
x
2
2
a2
+
y
2
2
b2
=1
兩式相減，得：
y1-y2
x1-x2
•
y1+y2
x1+x2
=-
b2
a2

∵kAB=
y1-y2
x1-x2
=1，kOM=
y1+y2
x1+x2

∴kOM=-
b2
a2
…（6分）

（II）因?yàn)橹本�AB與OM的夾角為α，tanα=7
由（I）知kAB=1，kOM=-
b2
a2
∴tanα=
1+
b2
a2
1-
b2
a2
=7①
又橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線的方程是x=4∴
a2
c
=4②
在橢圓中，a2=b2+c2③
聯(lián)立①②③，解得：
a2=4
b2=3
…（12分）
所以，橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)差法求斜率，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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（2006•朝陽區(qū)一模）已知向量
a
=（2，3），
b
=（1，2），且(
a
+λ
b
)⊥(
a
-
b
)，則λ等于（　�。�

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（2006•朝陽區(qū)一模）設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2-3i，則z1•z2等于
5-i
5-i
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若P（x0，y0）為f(x)=
ax
x2+b
圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f(x)=
ax
x2+b
的圖象相切于點(diǎn)P，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+cx（a，c∈R），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值-
2
3
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x1，x2∈[-1，1]時(shí)，求證：|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線的方程是x=1，過橢圓的左焦點(diǎn)F，且方向向量為
a
=（1，1）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M．
（Ⅰ）求直線OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直線AB與OM的夾角為α，當(dāng)tanα=2時(shí)，求橢圓的方程；
（Ⅲ）當(dāng)A、B兩點(diǎn)分別位于第一、三象限時(shí)，求橢圓短軸長的取值范圍．

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