設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,,3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t為正常數(shù),n=2,3,4…).
(1)求證:{an}為等比數(shù)列;
(2)設(shè){an}公比為f(t),作數(shù)列bn使b1=1,bn=f(
1bn-1
)(n≥2)
,試求bn,并求b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1(n∈N*)
分析:(1)因為an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*),所以在3tSn-(2t+3)Sn-1=3t的基礎(chǔ)上,用n-1替換n構(gòu)造與它類似的關(guān)系式;然后利用作差法求出an與an-1的關(guān)系式,進(jìn)而可整理為等比數(shù)列形式;但不要忘掉未含項的檢驗.
(2)由(1)知{an}的公比f(t),又bn=f(
1
bn-1
),則可找到bn與bn-1的關(guān)系,進(jìn)而可整理為等差數(shù)列形式;則由等差數(shù)列通項公式可求bn;代數(shù)式b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1的求值,可利用分組的方法,把它轉(zhuǎn)化到等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和公式上去,則問題解決.
解答:(1)證明:∵a1=1,3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(n≥2,n∈N*)①
∴3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(n≥3,n∈N*)②
①②兩式相減得
3tan-(2t+3)an-1=0
an
an-1
=
2t+3
3t
(n≥3,t為正常數(shù))

又n=2時,
3t(1+a2)-(2t+3)•1=3t
a2=
2t+3
3t
a2
a1
=
2t+3
3t

∴an是以1為首項,
2t+3
3t
為公比的等比數(shù)列.
(2)解:∵f(t)=
2t+3
3t
=
2+
3
t
3
,∴bn=
2+3bn-1
3
,∴bn-bn-1=
2
3
(n≥2)

∴bn是以1為首項,
2
3
為公差的等差數(shù)列,∴bn=
2n+1
3

∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1(n∈N*)
=b2(b1-b3)+b4(b3-b4)+…+b2n(b2n-1-b2n+1
=-
4
3
(b2+b4+b2n)=-
4
3
n(
5
3
+
4n+1
3
)
2
=
-8n2-12n
9
點評:若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)是實現(xiàn)前n項和Sn向通項an轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶,進(jìn)而可結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)解決問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案