Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程；

（2）討論函數(shù)的極值；

（3）若對任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且的極小值為，不存在極大值

（3）

【解析】

(1)先求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率為,再根據(jù)直線方程得點(diǎn)斜式求得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程;

(2)先求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),再判斷零點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可得極值點(diǎn),從而可得極值.

(3) 將對任意的成立轉(zhuǎn)化為對任意的成立,然后構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后討論得的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

又，

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程為，即.

（2）因?yàn)?/span>，

所以.

令,得,

因?yàn)?/span>時(shí),,時(shí),,

所以函數(shù)在處取得極小值,極小值為.不存在極大值.

（3）據(jù)題意，得對任意的成立，

即對任意的成立.

令，

所以.

討論：

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增.

又，所以當(dāng)時(shí)，，

這與對任意的恒成立矛盾；

當(dāng)時(shí)，二次方程的判別式.

若，解得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減.

又，

所以當(dāng)時(shí)，，滿足題設(shè)；

若，解得，此時(shí)關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根是，，其中，.

又分析知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，

所以當(dāng)時(shí)，，不符合題設(shè).

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.