Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N*，點（n，）都在函數(shù)f（x）=x+的圖象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表達式，并證明你的猜想．
（2）設A_n為數(shù)列{}的前n項積，是否存在實數(shù)a，使得不等式A_n對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點（n，）都在函數(shù)f（x）=x+的圖象上，故=n+．
∴S_n=n²+a_n，令n=1得a₁=1+a₁，∴a₁=2
令n=2得a₁+a₂=4+a₂，∴a₂=4
令n=3得a₁+a₂+a₃=9+a₃，∴a₃=6
由此猜想：a_n=2n（n∈N*），（2分）
下面用數(shù)字歸納法證明：
①當n=1時，由上面的求解知，猜想成立．（3分）
②假設n=k時猜想成立，即a_k=2k成立，
那么，當n=k+1時，由條件知，S_k=k²+a_k，S_k+1=（k+1）²+a_k+1，
兩式相減，得a_k+1=2k+1+a_k+1-a_k，
∴a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）
即當n=k+1時，猜想成立．
根據(jù)①、②知，對一切n∈N*，a_n=2n成立．（6分）
（2）∵=1-，故A_n=（1-）（1-）（1-），
∴A_n=（1-）（1-）（1-）
又f（a）-=a+-=a-
故A_n＜f（a）-對一切n∈N*都成立，就是
（1-）（1-）（1-）•＜a-對一切n∈N*都成立．（8分）
設g（n）=（1-）（1-）（1-），則只需g（n）_max＜a-即可．（9分）
由于=（1-）•=•
=＜1
∴g（n+1）＜g（n），故g（n）是單調(diào)遞減，
于是g（n）_max=g（1）=，（12分）
由＜a-得＞0解得-＜a＜0或a＞．
綜上所述，使得所給不等式對一切n∈N*都成立的實數(shù)a存在，且a的取值范圍為（-，0）∪（，+∞）．（14分）
分析：（1）由題設知=n+，S_n=n²+a_n，令n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，然后仔細觀察，總結(jié)規(guī)律，猜想：a_n=2n（n∈N*），再用用數(shù)字歸納法證明．
（2）由=1-，知A_n=（1-）（1-）（1-），A_n=（1-）（1-）（1-），又f（a）-=a+-=a-，故A_n＜f（a）-對一切n∈N*都成立，由此能夠推導出使得所給不等式對一切n∈N*都成立的實數(shù)a存在，并且能求出a的取值范圍．
點評：本題考是數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式的合理運用．