Question

已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，），且其右焦點與拋物線的焦點F重合．
①求橢圓C₁的方程；
②直線l經(jīng)過點F與橢圓C₁相交于A、B兩點，與拋物線C₂相交于C、D兩點．求的最大值．

Answer 1

解：如圖，
①解法1：由拋物線方程為y²=4x，得其焦點F（1，0），
∵橢圓右焦點與拋物線焦點重合，∴c=1．
故a²-b²=c²=1 ①
又橢圓C₁經(jīng)過點，∴ ②
由①②消去a²并整理，得，4b⁴-9b²-9=0，解得：b²=3，或（舍去），
從而a²=b²+1=4． 故橢圓的方程為．
解法2：由拋物線方程，得焦點F（1，0），
∴c=1．
∴橢圓C₁的左右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
∵橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，），
∴=4．
∴a=2，則a²=4，b²=a²-c²=4-1=3．
故橢圓的方程為．
②當(dāng)直線l垂直于x軸時，
則A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，-2）．∴．
當(dāng)直線l與x軸不垂直，設(shè)其斜率為k（k≠0），則直線l的方程為：y=k（x-1）．
聯(lián)立，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=（-8k²）²-4×（3+4k²）×（-12）=64k⁴+192k²+144＞0．
∴方程有兩個不等的實數(shù)根．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則，．
所以，=
=
=．
由，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，∴方程有兩個不等的實數(shù)根．設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
∵k≠0，∴，
由拋物線的定義，得．
∴=．
綜上，當(dāng)直線l垂直于x軸時，取得最大值．
分析：①首先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，則c可求，結(jié)合橢圓的隱含條件及點M（1，）在橢圓上，進(jìn)一步列式可求橢圓方程；
②分直線l的斜率存在和不存在兩種情況分析，當(dāng)斜率不存在時，可以直接求出A，B，C，D四點的坐標(biāo)，則的值可求，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程及拋物線方程聯(lián)立后，運用弦長公式把用直線的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．
點評：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想及分類討論思想，考查了弦長公式，解答此類問題的關(guān)鍵是，常常采用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出直線與圓錐曲線交點的坐標(biāo)，解答時不求坐標(biāo)，而是運用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個點的橫坐標(biāo)的和與積，然后結(jié)合已知條件整體代入求解問題，此題是難題．