Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）設(shè)AB₁的中點(diǎn)為G，問：在矩形BCC₁B₁內(nèi)是否存在點(diǎn)H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出點(diǎn)H的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證AB₁∥平面BC₁D，只需證明AB₁平行平面BC₁D中的一條直線，利用三角形的中位線平行與第三邊，構(gòu)造一個(gè)三角形AB₁C，使AB₁成為這個(gè)三角形中的邊，而中位線MD恰好在平面BC₁D上，就可得到結(jié)論．
（2）先過C作CE⊥C₁D且設(shè)CE∩C₁D=E，可得∠CEB為二面角C-BC₁-D的平面角．再把∠CEB放到三角形CEB中求出正切值即可；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)以及各向量的坐標(biāo)，根據(jù)GH⊥平面BC₁D，可算得點(diǎn)H的位置．

解答：解：（1）連接B₁C，設(shè)B₁C∩BC₁=M，連接MD，
在△AB₁C中，M為B₁C中點(diǎn)，D為 AC中點(diǎn)，
∴DM∥AB₁，
又∵AB₁不在面BDC₁內(nèi)，DM在面BDC₁內(nèi)，
∴AB₁∥面BDC₁．…（3分）
（2）過C作CE⊥C₁D且設(shè)CE∩C₁D=E，連接BE，
∵BC⊥面ACC₁A₁，C₁D在平面ACC₁A₁內(nèi)，
∴BC⊥C₁D．又CE⊥C₁D，
∴C₁D⊥面BEC，∴C₁D⊥BE，
∴∠CEB為二面角B-C₁D-C的平面角，設(shè)為θ．…（5分）
在RT△BEC中，BC=2，由CE×C₁D=C₁C×DC可得CE=

2 5

5

，
∴tanθ=

CB

CE

=

5

，即二面角B-C₁D-C的正切值為

5

．…（7分）
（3）以C₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，

C1A1

為X軸，

C1C

為Y軸，

C1B 1

為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
依題意，得：C₁（0，0，0），D（1，2，0），B（0，2，2，），G（1，1，1，），假設(shè)存在H（0，m，n）

GH

=（-1，m-1，n-1），

C1D

=（1，2，0），

DB

=（-1，0，2）
由GH⊥平面BC₁D，得：

GH

⊥

C1D

⇒（-1，m-1，n-1）•（1，2，0）=0
∴m=

3

2

同理，由

GH

⊥

DB

得：n=

1

2

即：在矩形BCC₁B₁內(nèi)是存在點(diǎn)H，使得GH⊥平面BDC₁．
此時(shí)點(diǎn)H到B₁C₁的距離為

3

2

，到C₁C的距離為

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考察了線面平行判定定理的應(yīng)用和二面角的作法和求法，解決二面角問題是要按照一作二證三計(jì)算的步驟，準(zhǔn)確規(guī)范解題．