Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在原點O、半徑是

a2+b2

的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為F（

2

，0），其短軸的一個端點到點F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C及其“準(zhǔn)圓”的方程
（Ⅱ）若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的相異兩點，且BD⊥x軸，求

AB

•

AD

的取值范圍；
（Ⅲ）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點P（1，

3

），過點P作兩條直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，且l₁，l₂分別與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于M，N兩點．證明：直線MN過原點O．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知c=

2

，a=

b2+c2

=

3

，由此能求出橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”．
（Ⅱ）由題意，設(shè)B（m，n），D（m，-n），（-

3

＜m＜

3

，則有

m2

3

+n2=1，又A點坐標(biāo)為（2，0），故

AB

=(m-2，n)，

AD

=(m-2，-n)，由此能求出

AB

•

AD

的取值范圍．
（Ⅲ）由已知條件證明l₁⊥l₂，由此得到MN是準(zhǔn)圓的直徑，從而能證明直線MN過原點O．

解答： （Ⅰ）解：由題意知c=

2

，a=

b2+c2

=

3

，解得b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，其“準(zhǔn)圓”為x²+y²=4．
（Ⅱ）解：由題意，設(shè)B（m，n），D（m，-n），（-

3

＜m＜

3

，則有

m2

3

+n2=1，
又A點坐標(biāo)為（2，0），故

AB

=(m-2，n)，

AD

=(m-2，-n)，
∴

AB

•

AD

=(m-2)2-n2=m2-4m+4-(1-

m2

3

)
=

4

3

m2-4m+3=

4

3

(m-

3

2

)2，
又-

3

＜m＜

3

，∴

4

3

(m-

3

2

)2∈[0，7+4

3

）．
∴

AB

•

AD

的取值范圍是[0，7+4

3

）．
（Ⅲ）設(shè)P（s，t），則s²+t²=4，
當(dāng)s=±

3

時，t=±1，則l₁，l₂其中之一斜率不存在，另一條斜率為0，
∴l(xiāng)₁⊥l₂．
當(dāng)t≠±

3

時，設(shè)過P（s，t）且與有一個公共點的直線l的斜率為k，
則l的方程為y-t=k（x-s），代入橢圓C的方程，得：
x²+3[k（x-s）+t]²=3，即（3k²+1）x²-6k（t-ks）x+3（t-kt）²-3=0，
由△=36k²（t-ks）²-4（3k²+1）[3（t-kt）²-3]=0，
得（3-t²）k²+2stk+t²-3=0，其中3-t²≠0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁，k₂分別是上述方程的兩個根，
∴k₁k₂=-1，∴l(xiāng)₁⊥l₂．
綜上所述，l₁⊥l₂，
∴MN是準(zhǔn)圓的直徑，∴直線MN過原點O．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．