【題目】已知橢圓以，為左右焦點，且與直線：相切于點.

（1）求橢圓的方程及點的坐標(biāo)；

（2）若直線：與橢圓交于兩點，且交于點（異于點），求證：線段長，，成等比數(shù)列.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

(1) 設(shè)橢圓方程為 ，聯(lián)立橢圓和直線的方程可得，由相切條件可得,從而得到橢圓的方程及點的坐標(biāo)；

(2) 聯(lián)立直線與的方程解得點為，由弦長公式，聯(lián)立橢圓與直線的方程，消去得，可得，

，從而可證線段長，，成等比數(shù)列.

（1）由題意，設(shè)橢圓方程為 ，聯(lián)立橢圓和直線的方程

消去得

所以 ，

化簡得，由知，，所以橢圓方程為.

將代回原方程組，解得切點的坐標(biāo)為.

（2）聯(lián)立直線與的方程解得點為，

又因為，

由弦長公式 得，所以.

設(shè)，，聯(lián)立橢圓與直線的方程，

，消去得，

，得

則，

又因為 ，

，

所以

所以線段長，，成等比數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，每只產(chǎn)品固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預(yù)計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為（k＞0，k為常數(shù)，且n≥0），若產(chǎn)品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為萬元．

（Ⅰ）求k的值，并求出的表達(dá)式；

（Ⅱ）若今年是第1年，問第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年某市政府為了有效改善市區(qū)道路交通擁堵狀況出臺了一系列的改善措施.其中市區(qū)公交站點重新布局和建設(shè)作為重點項目.市政府相關(guān)部門根據(jù)交通擁堵情況制定了“市區(qū)公交站點重新布局方案”，現(xiàn)準(zhǔn)備對該“方案”進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否啟用該“方案”，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點隨機抽取若干市民對該“方案”進(jìn)行評分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.相關(guān)規(guī)則為：①調(diào)查對象為本市市民，被調(diào)查者各自獨立評分；②采用百分制評分，內(nèi)認(rèn)定為滿意，不低于分認(rèn)定為非常滿意；③市民對公交站點布局的滿意率不低于即可啟用該“方案”；④用樣本的頻率代替概率.

（1）從該市市民中隨機抽取人，求恰有人非常滿意該“方案”的概率；并根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計學(xué)知識判斷該市是否啟用該“方案”，說明理由；

（2）已知在評分低于分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評分低于分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取人以便了解不滿意的原因，并從中抽取人擔(dān)任群眾監(jiān)督員，記為群眾監(jiān)督員中老年人的人數(shù)，求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國擁有世界上最大的快遞市場.某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，每超過（不足，按計算）需再收5元.

該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：

包裹重量（單位：）

1

2

3

4

5

包裹件數(shù)

43

30

15

8

4

公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：

包裹件數(shù)范圍

0~100

101~200

201~300

301~400

401~500

包裹件數(shù)（近似處理）

50

150

250

350

450

天數(shù)

6

6

30

12

6

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；

（2）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；

②根據(jù)以往的經(jīng)驗，公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員3人，每人每件攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若你是公司老總，是否進(jìn)行裁減工作人員1人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若x，，求，的值；

（2）若x，，試判斷的奇偶性；

（3）若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，，，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若是的導(dǎo)數(shù)，若方程方有實數(shù)解，則稱.

點為函數(shù)的“拐點”.已知：任何三次函數(shù)既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設(shè)，數(shù)列的通項公式為，則__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校開展一次“五四”知識競賽活動，共有三個問題，其中第1、2題滿分都是15分，第3題滿分是20分．每個問題或者得滿分，或者得0分．活動結(jié)果顯示，每個參賽選手至少答對一道題，有6名選手只答對其中一道題，有12名選手只答對其中兩道題．答對第1題的人數(shù)與答對第2題的人數(shù)之和為26，答對第1的人數(shù)與答對第3題的人數(shù)之和為24，答對第2題的人數(shù)與答對第3題的人數(shù)之和為22．則參賽選手中三道題全答對的人數(shù)是____；所有參賽選手的平均分是____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】每年的3月21日被定為“世界睡眠日”，擁有良好睡眠對人的健康至關(guān)重要，一夜好眠成為很多現(xiàn)代人的訴求．某市健康研究機構(gòu)于2018年3月14日到3月20日持續(xù)一周，通過網(wǎng)絡(luò)調(diào)查該市20歲至60歲市民的日平均睡眠時間（單位：小時），共有500人參加調(diào)查，其中年齡在區(qū)間的有200人，現(xiàn)將調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計整理后，得到如下頻數(shù)分布表：

（1）根據(jù)上表，在給定坐標(biāo)系中畫出這500名市民日平均睡眠時間的頻率分布直方圖；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市20歲至60歲市民的日平均睡眠時間與年齡有關(guān)；

，其中．

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