Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE是直角梯形，∠BED=90°，BE∥CD，AB=6，BC=5，

CD

BE

=

1

3

，側(cè)面ABE⊥底面BCDE，∠BAE=90°．
（1）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（2）過點(diǎn)D作面α∥平面ABC，分別于BE，AE交于點(diǎn)F，G，求△DFG的面積．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ADE⊥平面ABE，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ABE內(nèi)一直線與平面ADE垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知DE⊥平面ABE，則AB⊥DE，而AB⊥AE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB⊥平面ADE，滿足面面垂直的判定定理所需條件；
（2）根據(jù)先證四邊形BCDF為平行四邊形，求出DF，根據(jù)比例關(guān)系求出FG，由（1）易證：FG⊥平面ADE，則FG⊥DG，從而求出DG，最后利用直角三角形的面積公式求出所求即可．

解答：證明：（1）因?yàn)閭?cè)面ABE⊥底面BCDE，
側(cè)面ABE∩底面BCDE=BE，
DE?底面BCDE，
DE⊥BE，
所以DE⊥平面ABE，
所以AB⊥DE，
又因?yàn)锳B⊥AE，
所以AB⊥平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ABE；7
（2）因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC，
所以DF∥BC，同理FG∥AB9
所以四邊形BCDF為平行四邊形．
所以DF=BC=5，CD=BF，
因?yàn)?span id="lxbjln5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

CD

BE

=

1

3

，所以

EF

EB

=

2

3

所以FG=

2

3

AB=411
由（1）易證：FG⊥平面ADE，
所以FG⊥DG，
所以DG=3
所以△DFG的面積S=6.14

點(diǎn)評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及線面垂直的性質(zhì)和三角形的面積的計算，同時考查了空間想象能力，計算能力和推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．