已知:四面體S-ABC中,SA⊥平面ABC,△ABC是銳角三角形,H是點A在面SBC上的射影,求證:H不可能是△SBC的垂心.

證明:假設H是△SBC的垂心,連接BH,并延長交SC于D點,則BH⊥SC
∵AH⊥平面SBC,
∴BH是AB在平面SBC內的射影
∴SC⊥AB(三垂線定理)
又∵SA⊥底面ABC,AC是SC在面內的射影
∴AB⊥AC(三垂線定理的逆定理)
∴△ABC是Rt△與已知△ABC是銳角三角形相矛盾,于是假設不成立.
故H不可能是△SBC的垂心.
分析:本題因不易直接證明,故采用反證法.先假設H是△SBC的垂心,連接BH,并延長交SC于D點,然后再根據(jù)已知中四面體S-ABC中,SA⊥平面ABC,H是點A在面SBC上的射影,得到△ABC是Rt△,然后根據(jù)結論與已知中△ABC是銳角三角形相矛盾,得到假設不成立.
點評:本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質,三角形五心及反證法,當一個問題不易直接證明時,常使用反證法.
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