Question

16．已知平面α截一球O得圓M，圓M的半徑為r，圓M上兩點A、B間的弧長為$\frac{πr}{2}$，又球心O到平面α的距離為r，則A、B兩點間的球面距離為$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用球面上兩點A、B與球心O所構成的△AOB為正三角形得出球心角的大小，再直接求扇形OAB的弧長，就是A、B兩點間的球面距離．

解答 解：由題意可知A、B兩點間的球面距離：就是扇形OAB的劣弧的長，
因為圓M上兩點A、B間的弧長為$\frac{πr}{2}$，所以∠AMB=$\frac{π}{2}$，
因為圓M的半徑為r，球心O到平面α的距離為r，所以AB=OA=OB=$\sqrt{2}$r
因球面上兩點A、B與球心O所構成的△AOB為正三角形，
故$∠AOB=\frac{π}{3}$，
則A、B兩點間的球面距離是l=$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$．

點評 本題考查球面距離，考查了正三角形的性質，弧長公式等基礎知識，是基礎題．