Question

已知雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為A、B，相應(yīng)于這條準(zhǔn)線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，如果△ABF是等邊三角形，那么雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A、

  2

• B、2
• C、4
• D、

  2 3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程公式，算出右準(zhǔn)線(xiàn)交漸近線(xiàn)于A，B的坐標(biāo)．根據(jù)△AFB為等邊三角形，建立關(guān)于a、b、c的方程，化簡(jiǎn)算出

3

a=b，從而得到雙曲線(xiàn)的離心率e=2．

解答： 解：∵雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=±

a2

c

，漸近線(xiàn)方程為y=±

b

a

x，
∴以右準(zhǔn)線(xiàn)為例，求得它與兩條漸近線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，
得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

）
由于△ABF是等邊三角形，F(xiàn)（c，0），
∴c-

a2

c

=

3

2

|AB|=

3 ab

c

，即

c2-a2

c

=

3 ab

c

，化簡(jiǎn)得

3

a=b
因此，c=

a2+b2

=2a，
雙曲線(xiàn)的離心率e=

c

a

=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足的條件，求雙曲線(xiàn)的離心率．著重考查了三角形的形狀判斷、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．