Question

如圖，過(guò)曲線(xiàn)C：y=e^-x上一點(diǎn)P（0，1）做曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l交x軸于Q₁（x₁，0）點(diǎn)，又過(guò)Q₁做x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P₁（x₁，y₁）點(diǎn)，然后再過(guò)P₁（x₁，y₁）做曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l₁交x軸于Q₂（x₂，0），又過(guò)Q₂做x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P₂（x₂，y₂），…，以此類(lèi)推，過(guò)點(diǎn)P_n的切線(xiàn)l_n與x軸相交于點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，0），再過(guò)點(diǎn)Q_n+1做x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)曲線(xiàn)C與切線(xiàn)l_n及垂線(xiàn)P_n+1Q_n+1所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達(dá)式；
（3）若數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)之和為T(mén)_n，求證：（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)進(jìn)而求出切線(xiàn)的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出點(diǎn)P_n的切線(xiàn)l_n的方程即可求出及數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接利用定積分來(lái)求S_n的表達(dá)式即可；
（3）利用（2）的結(jié)論先求出數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)之和為T(mén)_n，再把所要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)歸納法證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可
解答：解：（1）y′=-e^-x，設(shè)l_n的斜率為k_n，則
∴l(xiāng)的方程為：y=-x+1，令y=0得x₁=1，∴y₁=-e^-1P₁（1，e^-1），
∴l(xiāng)₁的方程為：y-e^-1=-e^-1（x-1），令y=0得x₂=2，
一般地，l_n的方程為：，由Q_n+1（x_n+1，0）∈l_n
得：x_n+1-x_n=1，∴x_n=n （4分）
（2）
=（8分）
（3），
∴要證：，只要證明：，
即只要證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e（10分）
證明；數(shù)學(xué)歸納法：
（一）當(dāng)n=1時(shí)，顯然（e-1）²＞0?e²＞2e-1?e²＞（e-1）+e成立
（二）假設(shè)n=k時(shí)，有e^k+1＞（e-1）k+e
當(dāng)n=k+1時(shí)，e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）²（k+1）＞0
∴e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e
這說(shuō)明n=k+1時(shí)不等式也成立，由（一）（二）知對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
點(diǎn)評(píng)：一般在作數(shù)列與函數(shù)的綜合題時(shí)，多用到數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，所以要把這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握好．