Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率可求得之間關(guān)系；可知斜率為時(shí)，與上頂點(diǎn)重合，設(shè)，結(jié)合橢圓定義和可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，從而求得，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在或斜率為時(shí)，易求得四邊形面積為；當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，假設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式可求得；將換作可得到，進(jìn)而得到四邊形面積，利用基本不等式可求得最小值，與對(duì)比后可得結(jié)果.

（1）由題意得：，，.

當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，與上頂點(diǎn)重合，，，

設(shè)，則，

，即，解得：，

，解得：，，

橢圓的方程為.

（2）由（1）知：.

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在或斜率為時(shí)，四邊形面積為；

當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，

則直線(xiàn)的方程為：，

將直線(xiàn)代入橢圓的方程得：，

，

，

將換作可得：.

四邊形面積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），

，四邊形面積最小值為.