Question

本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分．
已知a為實(shí)數(shù)，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）總有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)
∴f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=-

-2×2xln2

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，可得a=1．
∴f(x)=1-

2

2x+1

=

1-2x

2x+1

，
令y=

1-2x

2x+1

，可得2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，（-1＜y＜1）
∴函數(shù)f（x）的反函數(shù)為：f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得

1+x

1-x

=x+t，即-1+

2

1-x

=x+t，
∴t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

時(shí)等號(hào)成立，
所以，t的取值范圍是[2

2

-2，+∞)．