Question

在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=

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2

BC．
（I）證明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）設BC=

3

CD，證明EO⊥平面CDF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD中點M，證明四邊形EFOM為平行四邊形，得到 FO∥EM，從而證明FO∥平面CDE．
（Ⅱ） 證明平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM，證明CD⊥平面EOM，可得CD⊥EO，進而證得EO⊥平面CDF．

解答：證明：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連接OM．
在矩形ABCD中，OM∥

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BC，且 OM=

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2

BC，又 EF∥

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BC，且 EF=

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2

BC，
則 EF∥OM，EF=OM，連接EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形．∴FO∥EM．
又 FO不在平面CDE內，且 EM在平面CDE內，∴FO∥平面CDE．
（Ⅱ）證明：連接FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，
且 EM=

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CD=

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 BC=EF，因此，平行四邊形EFOM為菱形，從而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以，EO⊥平面CDF．

點評：本題考查證明先面平行、線面垂直的方法，取CD中點M，證明CD⊥平面EOM，是解題的難點．