Question

如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面,

（Ⅰ）求證：平面
（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值
（Ⅲ）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式。（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1（Ⅲ）共有種不同的方案

（Ⅰ）取中點，連接

，               
四邊形為平行四邊形
且
在中，

,即，又，所以
平面，平面
，又，
平面
（Ⅱ）以為原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量，則由
得取，得
設(shè)與平面所成角為，則
，解得．故所求的值為1
（Ⅲ）共有種不同的方案

立體幾何第一問對于關(guān)系的決斷往往基于對公理定理推論掌握的比較熟練，又要善于做出一線輔助線加以證明，那么第二問就可以在其基礎(chǔ)上采用坐標(biāo)法處理角度或者距離問題，坐標(biāo)法所用的公式就必需熟練掌握，第三問主要考查了學(xué)生的空間思維能力，要在平時多加練習(xí)。此題坐標(biāo)法也很考驗學(xué)生的計算功底。
【考點定位】 本題主要考查立體幾何中線線關(guān)系線面關(guān)系的判斷以及線面角的算法，并且通過第三問的設(shè)問又把幾何體的表面積與函數(shù)巧妙的結(jié)合起來，計算和空間思維要求比較高。屬于難題。